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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数二}
\subtitle{7-6-可以对角化的矩阵 }
%\institute{上海立信会计金融学院}
%\author{王立庆}
\author{{\ppr LQW}}
\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
%\date{{\ppr 2023年3月9日} }

\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{7.6.i. 作业：星期天晚上十点半之前在网络教学平台提交 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item   整理课堂笔记，补充没写完的计算或证明。
\item   习题(7.6)\#1,2,3,4,5, 抄写题目。
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.ii. 目录 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item[7.6.1.] 线性变换可对角化的定义
\item[7.6.2.] 矩阵可对角化的定义
\item[7.6.4.] 定理7.6.1. 不同本征值的本征向量线性无关
\item[7.6.6-7.] 线性变换和矩阵可对角化的充分条件
\item[7.6.8-9.] 本征子空间的定义和作用 
\item[7.6.10.] 多项式的根的重数的定义
\item[7.6.11.] 定理7.6.2. 线性变换可对角化的充分必要条件
\item[7.6.13.] 矩阵对角化的算法
\item[7.6.15.] 矩阵可对角化的充分必要条件

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{7.6.iii. 课堂讲解重点 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  本征子空间的概念
\item  不同本征值的本征向量线性无关
\item  线性变换可对角化的充分必要条件
\item  矩阵对角化的算法

\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.1. 线性变换可对角化的定义 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：一个线性变换 $\sigma:V\to V$ 什么时候称为是可对角化的？}

\item  解答：如果存在 $V$ 的一个基 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}$, 使得 $\sigma$ 关于这个基的矩阵是对角阵，那么称线性变换 $\sigma$ 是可对角化的。也就是说，此时有 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
( \sigma(\alpha_1), \sigma(\alpha_2), \cdots, \sigma(\alpha_n)) 
=
(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n)
\begin{pmatrix} 
\lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 
0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots &\vdots & &\vdots \\ 
0 & 0 & \cdots & \lambda_n
\end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.2. 矩阵可对角化的定义 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：一个矩阵 $A$ 什么时候称为是可对角化的？}

\item  解答：如果存在可逆矩阵 $T$, 使得 $T^{\,-1}AT$ 是对角阵，那么称矩阵 $A$ 是可对角化的。

%\vfill 

\item  {\color{red}问题：设 $T^{\,-1}AT=B$ 是对角阵，求 $A$ 的特征值与特征向量。 }

\item  解答：从 $T^{\,-1}AT=B$ 可得 $AT=TB$. 将矩阵 $T$ 按列向量来写，可得
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)
=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)
\begin{pmatrix} \lambda_1&0&\cdots&0 \\ 0&\lambda_2&\cdots&0 \\ \vdots&\vdots&&\vdots \\ 0&0&\cdots&\lambda_n \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}
从分块矩阵的乘法可得 $A\alpha_i=\lambda_i\alpha_i$. 这正是特征值与特征向量的定义。

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.3. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：证明矩阵 {\footnotesize  $A=\begin{pmatrix} 1&1 \\ 0& 1\end{pmatrix}$} 是不能对角化的。}

\item  证明：
\begin{enumerate}
\item  设存在可逆矩阵 $T$ 使得 {\footnotesize  $T^{\,-1}AT=B=\begin{pmatrix} \lambda_1 & 0  \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$ } 为对角阵。

\item  计算可得矩阵 $A$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda-1)^2$. 

\item  计算可得矩阵 $B$ 的特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)$. 

\item  因为 $T^{\,-1}AT$ 与 $A$ 有相同的特征多项式，所以 $\lambda_1=\lambda_2=1$. 

\item  所以 {\footnotesize  $B=\begin{pmatrix} 1 & 0  \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = E$.} 

\item  因为 $T^{\,-1}AT=E$, 所以 $A=E$. 

\item  这与题目所给的矩阵 $A$ 矛盾。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.4. 定理7.6.1.（不同本征值的本征向量线性无关）}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设线性变换 $\sigma:V\to V$ 有互不相同的本征值 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$, 
设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是属于它们的本征向量。证明向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性无关。}

\item 证明：记 $\theta$ 是向量空间 $V$ 的零向量。
\begin{enumerate}
\item  设有数 $k_1,k_2,k_3$ 使得 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=\theta$. 
\item  两边作用 $\sigma$, 可得 
$k_1\sigma(\alpha_1)+k_2\sigma(\alpha_2)+k_3\sigma(\alpha_3)=\theta. $
\item  使用本征向量的条件，可得 $k_1\lambda_1\alpha_1 + k_2\lambda_2\alpha_2 + k_3\lambda_3\alpha_3=\theta$. 
\item  从等式1与3约去向量 $\alpha_1$ 可得 
$ k_2(\lambda_2-\lambda_1)\alpha_2 + k_3(\lambda_3-\lambda_1)\alpha_3 = \theta. $
\item  两边再作用 $\sigma$, 可得 
$ k_2(\lambda_2-\lambda_1)\lambda_2\alpha_2 + k_3(\lambda_3-\lambda_1)\lambda_3\alpha_3 = \theta. $
\item  从等式4与5约去向量 $\alpha_2$ 可得  
$ k_3(\lambda_3-\lambda_1)(\lambda_3-\lambda_2)\alpha_3 = \theta. $
\item  因为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$ 互不相同，所以 $k_3 = 0$. 
\item  从等式4可得 $k_2=0$. 
\item  从等式1可得 $k_1=0$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.5. 推论7.6.1. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是线性变换 $\sigma:V\to V$ 的两个不同的本征值，
设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是属于 $\lambda_1$ 的线性无关的本征向量。
设 $\beta_1,\beta_2$ 是属于 $\lambda_2$ 的线性无关的本征向量。
证明向量组 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\beta_1,\beta_2\}$ 也是线性无关的。
}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item  设有数 $k_1,k_2,k_3,\ell_1,\ell_2$ 使得 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3+\ell_1\beta_1+\ell_2\beta_2=\theta$,  其中 $\theta$ 是 $V$ 的零向量。要证明 $k_1=k_2=k_3=\ell_1=\ell_2=0$. 
\item  记 $\alpha=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3$, 以及 $\beta=\ell_1\beta_1+\ell_2\beta_2$.
\item  在 $\alpha+\beta=\theta$ 两边作用线性变换 $\sigma$ 可得 $\lambda_1\alpha+\lambda_2\beta=\theta$. 
\item  从上一步的两个等式可得 $(\lambda_2-\lambda_1)\beta=\theta$ 与 $(\lambda_2-\lambda_1)\alpha=\theta$. 
\item  因为 $\lambda_1\neq \lambda_2$, 所以有 $\beta=\theta$ 与 $\alpha=\theta$. 
\item  因为 $\{\beta_1,\beta_2\}$ 线性无关，所以 $\ell_1=\ell_2=0$. 
\item  因为 $\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\}$ 线性无关，所以 $k_1=k_2=k_3=0$. 

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.6. 推论7.6.2. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red} 问题：设 $n$ 维向量空间 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 有 $n$ 个不同的本征值。那么这个线性变换是可以对角化的。}

\item 证明：
\begin{enumerate}
\item 每个本征值必须有至少一个本征向量。
\item 这些本征向量形成的向量组线性无关，从而构成一个基。
\item 线性变换 $\sigma$ 关于这个基的矩阵是对角阵。
\end{enumerate}

%\item 

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.7. 推论7.6.3. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 有 $n$ 个不同的特征值，那么这个矩阵是可以对角化的。}

\item 证明一：
\begin{enumerate}
\item  将矩阵 $A$ 的特征值按次序放在对角线上得到对角阵，记为 $B$. 
\item  对每个特征值取出一个特征向量，得到 $n$ 个特征向量。
\item  这些特征向量线性无关，按同样顺序排列成一个可逆矩阵, 记为 $T$. 
\item  从特征值与特征向量的定义，可得 $AT=TB$.  
\item  因为 $T$ 可逆，所以 $T^{-1}AT=B$, 即矩阵 $A$ 是可以对角化的。 
\end{enumerate}


\item 证明二：矩阵的特征值和特征向量，可以看做是线性变换的本征值和本征向量的一种特例。考虑列向量空间 $V=\mathbb{R}^n$, 线性变换 $\sigma:V\to V$ 由 $\sigma(X)=AX$ 给出。由上一推论可得。

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.8. 本征子空间的定义}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：什么是是线性变换 $\sigma:V\to V$ 的 属于本征值 $\lambda$ 的本征子空间？}

\item  解答：向量空间 $V$ 的子集
$$V_\lambda = \{ \xi\in V \mid \sigma(\xi) = \lambda \xi\}$$
是 $V$ 的一个子空间，称为 $\sigma$ 的属于本征值 $\lambda$ 的本征子空间。

\vspace{0.3cm}

\item  {\color{red}问题：证明 $V_\lambda$ 是 $V$ 的一个子空间。}

\item 证明：验证子空间的条件：非空、运算封闭。
\begin{enumerate}
\item  因为 $\theta\in V_\lambda$, 所以 $V_\lambda\neq\varnothing$.  
\item  设 $\alpha_1,\alpha_2\in V_\lambda$, 设 $k_1,k_2\in F$. 则 
$ \sigma(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2) = \lambda(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2)$. 
所以 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 \in V_\lambda$.

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.9. 本征子空间的作用 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：设 $\lambda$ 是 $4$ 维向量空间 $V$ 上的线性变换 $\sigma:V\to V$ 的一个本征值，
设 $\Phi=\{\alpha_1,\alpha_2\}$ 是属于 $\lambda$ 的本征子空间 $V_{\lambda}$ 的一个基。
设 $\Phi$ 已经扩充成 $V$ 的一个基 $\Psi =\{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\}$. 
求 $\sigma$ 在基 $\Psi$ 下的矩阵。这个矩阵有什么特点？
}

\item  解答：设 $\sigma$ 在基 $\Psi$ 下的矩阵为 $A$, 即 $\sigma(\Psi)=\Psi\cdot A$, 写具体就是
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
(\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_2),\sigma(\alpha_3),\sigma(\alpha_4) )
= (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)\cdot 
\begin{pmatrix} \lambda&0&*&* \\ 0&\lambda&*&* \\ 0&0&*&* \\ 0&0&*&* \end{pmatrix}.
\end{eqnarray*}
}

这个矩阵有很多零。

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.10. 多项式的根的重数的定义}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：求下述矩阵的特征多项式的根与重数，
{\footnotesize 
$$A=\begin{pmatrix} 1&1 \\ 0&1 \end{pmatrix}, \quad B=\begin{pmatrix} 1&0&0 \\ 0&1&1 \\ 0&0&2 \end{pmatrix}.$$
}
}

\item 解答：设多项式 $f(\lambda)$ 可以分解成 $(\lambda-\lambda_0)^kg(\lambda)$, 其中 $g(\lambda_0)\neq 0$, 则称 $\lambda_0$ 是这个多项式 $f(\lambda)$ 的 $k$ 重根。

\begin{enumerate}
\item  $f_A(x)=(x-1)^2$, 所以 $x=1$ 是2重根。
\item $f_B(x)=(x-1)^2(x-2)$, 所以 $x=1$ 是2重根，而 $x=2$ 是1重根。
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.11. 定理7.6.2.（线性变换可对角化的充分必要条件）}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定理：设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个 $n$ 维向量空间，
设 $f(\lambda)$ 是线性变换 $\sigma:V\to V$ 的特征多项式。
那么 $\sigma$ 在数域 $F$ 上是可对角化的充分必要条件是下述两个条件同时成立：}
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}多项式 $f(\lambda)$ 的根都在数域 $F$ 中。}
\item  {\color{red}对多项式 $f(\lambda)$ 的每个根 $\lambda$, 本征子空间 $V_{\lambda}$ 的维数（几何重数）都等于 $\lambda$ 在这个多项式 $f(\lambda)$ 里的重数（代数重数）。}
\end{enumerate}

\item 证明：思路如下。
\begin{enumerate}
\item  充分性：收集每个本征子空间的基，得到整个向量空间的一个基。
\item  必要性：设 $\sigma$ 可以对角化，则存在一个基，使得 $\sigma$ 的矩阵为对角阵。 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.12. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $A$ 是一个三阶矩阵。设 $T$ 是一个可逆矩阵，且 
{\footnotesize 
$$T^{-1}AT=\begin{pmatrix} \lambda_1&0&0 \\ 0&\lambda_2&0 \\ 0&0&\lambda_3 \end{pmatrix}.$$
}
记 $T$ 的列向量分别为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$. 证明 $A\alpha_i = \lambda_i\alpha_i, 1\le i\le 3$.
}


\item 证明：记右边的对角阵为 $B$, 则有 $AT=TB$. 由分块矩阵的运算可得。

%\item 

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.13. 矩阵对角化的算法 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}问题：给定矩阵 $A$, 判断是否可以对角化。如果可以对角化，求可逆矩阵 $T$ 使得 $T^{-1}AT$ 为对角阵。写出计算的步骤。
}

\item 解答：
\begin{enumerate}
\item 计算矩阵 $A$ 的特征多项式，求出所有特征值。
\item 对每个特征值，求出其特征子空间的一个基。
\item 如果对每个特征值，它在特征多项式里的重数等于它的特征子空间的维数，那么这个矩阵是可以对角化的。
\item 将所有的特征子空间的基按照列向量的方式排列成一个矩阵 $T$, 如果上一条成立，则 $T$ 是可逆矩阵，而且 $T^{\,-1}AT$ 为对角阵。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.14. 例子 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：
将矩阵 {\footnotesize $A=\begin{pmatrix} 3&2&-1 \\ -2&-2&2 \\ 3&6&-1 \end{pmatrix}$} 对角化。}

\item  解答：
\begin{enumerate}
\item  求出特征多项式，求出特征值。得到 $\lambda_1 = 2, \lambda_2 = 2, \lambda_3 = -4$. 
\item  对每个特征值，求出特征子空间的基。设为 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
\eta_1 = \begin{pmatrix}-2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \,\,
\eta_2 = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, \,\,
\eta_3 = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}

\item  写出矩阵 $T = (\eta_1,\eta_2,\eta_3)$,  
验证 {\footnotesize $T^{\,-1}AT=\begin{pmatrix}2&0&0 \\ 0&2&0 \\ 0&0&-4 \end{pmatrix}$} 为对角阵。

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{6.1.1. }
\begin{frame}{7.6.15. 推论7.6.4.}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定理：设 $A$ 是一个 $n$ 阶实数矩阵。则存在一个 $n$ 阶实数可逆矩阵 $T$ 使得 $T^{\,-1}AT$ 是对角阵的充分必要条件是下述两个条件同时成立：}
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}矩阵 $A$ 的特征多项式 $f(\lambda)$ 的根都是实数。}
\item  {\color{red}对矩阵 $A$ 的每个特征值 $\lambda_0$, 属于 $\lambda_0$ 的特征子空间 $V_{\lambda_0}$ 的维数等于 $\lambda_0$ 在特征多项式 $f(\lambda)$ 里的重数。}
\end{enumerate}

\item 证明一：从矩阵 $A$ 定义线性变换 $\sigma: \mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$. 由线性变换的结论可得。

\item 证明二：直接证明的思路如下。
\begin{enumerate}
\item  充分性：收集每个特征子空间的基，放一起得到 $\mathbb{R}^n$ 的一个基。
\item  必要性：设 $T^{\,-1}AT=B$ 是对角阵。则 $AT=TB$. 由此直接求出矩阵 $A$ 的特征值和特征子空间。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.6)\#1 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：检验上一节习题 7.5.1 中的矩阵哪些可以对角化，如果可以对角化，求出过渡矩阵 $T$.
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{pmatrix} 3&-2&0 \\ -1&3&-1 \\ -5&7&-1 \end{pmatrix}, \hspace{0.3cm}
B=\begin{pmatrix} 4&-5&7 \\ 1&-4&9 \\ -4&0&5 \end{pmatrix}, \hspace{0.3cm}
C=\begin{pmatrix} 3&6&6 \\ 0&2&0 \\ -3&-12&-6 \end{pmatrix}. 
\end{eqnarray*}
} 
}

\item  思路：计算特征值与特征向量，考虑矩阵可对角化的充分必要条件。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.6)\#2 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设矩阵\, {\footnotesize $A=\begin{pmatrix} 4&6&0 \\ -3&-5&0 \\ -3&-6&1 \end{pmatrix}$}, 求 $A^{10}$.
%\begin{eqnarray*}
%A=\begin{pmatrix} 4&6&0 \\ -3&-5&0 \\ -3&-6&1 \end{pmatrix}. 
%\end{eqnarray*}

}

\item  思路：先将矩阵 $A$ 对角化。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.6)\#3 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个 $n$ 维向量空间。设 $\sigma\in L(V)$ 是一个线性变换。
设 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 是 $\sigma$ 的两个不同的本征值。设 $V_1$ 是属于 $\lambda_1$ 的本征子空间，设 $V_2$ 是属于$\lambda_2$ 的本征子空间。证明 $V_1+V_2$ 是直和。
}

\item  思路：按照直和的定义，只需要证明 $V_1\cap V_2=\{\theta\}$ 是零子空间。


\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.6)\#4 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个 $n$ 维向量空间。设 $\sigma\in L(V)$ 是一个线性变换。
设 $\sigma$ 是对合变换，即 $\sigma^2=\iota$ 是恒等变换。记 $V_\lambda$ 是本征值 $\lambda$ 的本征子空间。} 
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}证明 $\sigma$ 的本征值只能是 $\pm 1$. }
\item  {\color{red}证明 $V=V_1\oplus V_{-1}$. }
\end{enumerate}

\item  思路：
\begin{enumerate}
\item  按照本征值和本征向量的定义。
\item  验证子空间的直和的定义。对任意 $\alpha\in V$, 考虑恒等式 
$$\alpha = \frac{1}{2}(\alpha+\sigma(\alpha)) + \frac{1}{2}(\alpha-\sigma(\alpha)). $$

\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{习题(7.6)\#5 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}问题：设 $n$ 阶矩阵 $A$ 是数域 $F$ 上的一个幂等矩阵，即 $A^2=A$. 
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}证明 $E+A$ 可逆，并求 $E+A$ 的逆阵。}
\item  {\color{red}证明 $R(A)+R(E-A)=n$. }
\end{enumerate}
}

\item  矩阵方法的一种思路：
\begin{enumerate}
\item  考虑 $1/(1+x)$ 的泰勒展开。
\item  考虑分块矩阵 {\footnotesize $\begin{pmatrix} A & O \\ O & E-A \end{pmatrix}$} 的初等变换。
\end{enumerate}

\item  线性变换的一种思路：将矩阵 $A$ 对应为线性变换 $\sigma: F^n\to F^n$. 由 $A^2=A$ 可得 $\sigma^2=\sigma$. 由此可证 $F^n = \text{Ker}(\sigma)\oplus \text{Im}(\sigma)$. 


\end{itemize}

\end{frame}

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\end{document}










